生活攻略
一次梭哈，还是慢慢赌？
你走进赌场时，身上只有 2 美元，却有一笔 4 美元的债要还。要还清它，你必须在钱归零以前，把手里的 2 美元变成 4 美元。
赌桌上的每一局只有两种结果：以概率 $p$ 成功，以概率 $q$ 失败，其中
\[q:=1-p.\]各局彼此独立；前面赢了还是输了，都不会改变下一局的成功概率。
每一局开始前，你可以决定押多少钱。假如手里有 $s$ 美元，这一局押 $x$ 美元：成功后净赚 $x$，手里的钱变成 $s+x$；失败后损失 $x$，变成 $s-x$。
1. 赌桌前的两种选择
站在桌前，你有两种选择：
- 一次梭哈：把 2 美元全部押上。成功便直接从 2 变成 4；失败则直接从 2 变成 0。
- 慢慢赌：每次只押 1 美元。成功一次，财富增加 1；失败一次，财富减少 1；一直进行到财富达到 4 或归零。
一次梭哈只需要成功一局，却没有第二次机会；慢慢赌保留了翻身空间，却也可能让自己经历更多局。
到底哪一种方式更容易让你还上这笔债？先不要急着猜答案，我们先把钱会怎样移动画出来。
一次梭哈只进行一局，因此它的成功概率立刻就是
\[\pi_A=p.\]真正需要想一想的是慢慢赌。在这个策略下，财富只可能是 $0,1,2,3,4$。只要还在 $1,2,3$，成功就向右移动一格，失败就向左移动一格；到了 0 或 4，游戏结束：
\[0\longleftarrow1\longleftrightarrow2\longleftrightarrow3\longrightarrow4.\]我们从 2 出发。记第 $t$ 局结束后的财富为 $S_t$，只要游戏还没有结束，就有
\[S_{t+1} = \begin{cases} S_t+1,&\text{概率 }p,\\ S_t-1,&\text{概率 }q. \end{cases}\]这张图告诉我们下一局会去哪里，却没有直接告诉我们最后会到达哪一端。慢慢赌可能来回很多次；如果逐条列举所有输赢路径，很快会得到一棵不断分叉、甚至无限延伸的路径树。
但我们其实不需要记住完整路径。
2. 如果此刻有 $s$ 美元呢？
先把游戏暂停在某个尚未结束的时刻。假设此刻手里有 $s$ 美元，从现在开始，最终先凑到 4 美元的概率有多大？
把这个概率记作
\[h(s) := \Pr(\text{先到达 }4\text{ 而不是 }0\mid \text{当前有 }s\text{ 美元}).\]这里把起点从 2 放宽到 $s$，不是因为题目变了，而是因为下一局以后，我们可能来到 1、2、3 中的另一个位置。只有同时知道从这些位置出发时各自的成功机会，才能把它们联系起来。
如果已经归零，当然不可能成功；如果已经有 4 美元，目标已经实现。因此
\[h(0)=0, \qquad h(4)=1.\]现在分别看手里有 1、2、3 美元的情形。
从 1 美元出发，下一局成功就到 2，失败就到 0，所以
\[h(1)=p\,h(2).\]从 3 美元出发，下一局只要成功就已经到达目标；失败则回到 2，因此
\[h(3)=p+q\,h(2).\]从真正的起点 2 美元出发，下一局成功到 3，失败到 1：
\[h(2)=p\,h(3)+q\,h(1).\]把前两式代入第三式：
\[\begin{aligned} h(2) &=p\bigl(p+q\,h(2)\bigr)+q\bigl(p\,h(2)\bigr)\\ &=p^2+2pq\,h(2). \end{aligned}\]因为
\[1-2pq=p^2+q^2,\]所以慢慢赌的成功概率是
\[\pi_B=h(2)=\frac{p^2}{p^2+q^2}.\]到这里，问题其实已经解完了。整个推导没有记录游戏进行了多少局，也没有记住过去经历了怎样的输赢；一旦知道当前有多少钱，未来的计算就只取决于当前位置。
可是，很多人看到前面的状态图时，最自然的念头并不是“换一个假想起点”，而是逐局追踪：第一局以后钱在哪里？第二局以后呢？这些概率最后怎样进入 0 和 4？
这条路也完全走得通。
3. 如果坚持逐轮追踪呢？
想象有很多人都从 2 美元出发，并且都采用慢慢赌。
第一局以后，大约有比例 $p$ 的人来到 3 美元，比例 $q$ 的人来到 1 美元。第二局以后，比例 $p^2$ 的人已经到达 4，比例 $q^2$ 的人已经归零，还有比例 ${2pq}$ 的人重新回到 2。
现在，把第 $t$ 局后处在 $j$ 美元的人所占的比例记作
\[P_j(t) := \Pr(S_t=j\mid S_0=2), \qquad j=0,1,2,3,4.\]换句话说，$P_j(t)$ 回答的是：从 2 美元出发，经过 $t$ 局以后，手里有 $j$ 美元的概率是多少？
初始条件为
\[P_2(0)=1, \qquad P_0(0)=P_1(0)=P_3(0)=P_4(0)=0.\]沿着前面图中的箭头逐轮搬运这些比例，就得到
\[P_0(t+1)=P_0(t)+qP_1(t),\] \[P_1(t+1)=qP_2(t),\] \[P_2(t+1)=pP_1(t)+qP_3(t),\] \[P_3(t+1)=pP_2(t),\] \[P_4(t+1)=P_4(t)+pP_3(t).\]逐个求出 $P_j(t)$ 的显式表达式当然可以，却会很繁琐。真正需要的，是各个中间位置在整个过程中累计承载了多少概率。定义
\[A_j := \sum_{t=0}^{\infty}P_j(t), \qquad j=1,2,3.\]$A_j$ 可以理解为：从 2 美元出发，到游戏结束以前，处于 $j$ 美元的期望总次数。
由
\[P_1(t+1)=qP_2(t)\]对所有 $t\geq0$ 求和。因为 $P_1(0)=0$，得到
\[A_1=qA_2.\]同理由
\[P_3(t+1)=pP_2(t)\]得到
\[A_3=pA_2.\]再看状态 2：
\[P_2(t+1)=pP_1(t)+qP_3(t).\]对 $t\geq0$ 求和时，左边是 $A_2-P_2(0)=A_2-1$，因此
\[A_2-1=pA_1+qA_3.\]代入 $A_1=qA_2$ 和 $A_3=pA_2$：
\[A_2-1 = pqA_2+qpA_2 = 2pqA_2.\]所以
\[A_2 = \frac{1}{1-2pq} = \frac{1}{p^2+q^2},\]进而
\[A_3 = pA_2 = \frac{p}{p^2+q^2}.\]现在只需计算流入成功状态 4 的总概率。由
\[P_4(t+1)-P_4(t)=pP_3(t),\]可知每一局新进入 4 美元的概率，等于“当前处在 3 美元”的概率乘以下一局成功的概率。
把它从 $t=0$ 加到无穷，左边的中间项会前后抵消：
\[\begin{aligned} \pi_B &= \lim_{t\to\infty}P_4(t)\\ &= p\sum_{t=0}^{\infty}P_3(t)\\ &= pA_3\\ &= \frac{p^2}{p^2+q^2}. \end{aligned}\]沿着一条完全不同的路线，我们又得到了同一个答案。
还有一个对称的核对：流进失败状态 0 的总概率是
\[qA_1 = \frac{q^2}{p^2+q^2}.\]成功概率与失败概率相加，恰好等于 1。
4. 到这里，再给两种问法起名字
直到这里，我们都没有必要先懂任何专业名词。现在回头看，前面的五个财富位置以及它们之间的移动，构成了一条有限状态的 Markov chain。我们只是用两种问法读了同一张图。
第一种固定“最终能否成功”这个事件，改变当前所在的位置；第二种固定真正的起点 2，让时间向前推进。数学上，前者通常称为 backward 视角，后者称为 forward 视角。
| Backward | Forward | |
|---|---|---|
| 未知量 | $h(s)=\Pr(\text{最终成功}\mid S_0=s)$ | $P_j(t)=\Pr(S_t=j\mid S_0=2)$ |
| 固定什么 | 固定最终事件 | 固定初始分布 |
| 改变什么 | 改变起始状态 $s$ | 让时间 $t$ 向前走 |
| 直觉 | 把边界上的价值递推回现在 | 把起点的概率质量推向未来 |
| 适合回答 | 最终是否到达某个边界 | 各期分布、访问次数、吸收时间 |
可以把两者记成一句话：
Backward 把终点的价值带回现在；forward 把起点的概率推向未来。
这里的 “backward” 并不是让随机过程倒着运行，也不是 time reversal。它只是说：我们利用未来结果的边界值，反过来计算当前状态的价值。
Forward 方法虽然先保留了时间，但最后把每一局处在某个位置的概率加总起来：
\[P_j(t) \longrightarrow A_j=\sum_tP_j(t)\]把时间维度重新压缩掉了。
如果只关心最终是否到达某个边界，backward 方法通常更短；如果还关心每个时点的分布、各状态的访问次数或吸收时间，forward 方法会保留更多动态信息。
5. 一个看似自然、却不够用的捷径
学过一点 Markov chain 的读者可能会问：既然我们关心“很久以后”，能不能直接寻找一个不再变化的概率分布？
问题在于，100% 停在 0 不会再动，100% 停在 4 也不会再动；30% 停在 0、70% 停在 4，同样不会再动。数学上，这些都叫平稳分布（stationary distributions）。
这道题不是没有平稳分布，而是它有无穷多个。对任意 $\alpha\in[0,1]$，
\[\nu_\alpha = (\alpha,0,0,0,1-\alpha)\]都是 stationary distribution。
只要概率质量已经全部停在两个吸收状态上，之后就不会再变化。但“不会再变化”并不等于“告诉我们从 2 美元出发会形成哪一种混合”。
stationary equation
\[\nu=\nu P\]没有包含初始条件 $S_0=2$，因此无法替我们选出正确的 $\alpha$。
这里必须区分两个问题：
- stationary distribution 问：“把这个分布放进链里，它会不会继续变化？”
- limiting distribution 问：“从一个指定起点出发，长期实际会趋近哪一个分布？”
从状态 2 出发，真正的极限分布是
\[\lim_{t\to\infty}\mathcal L(S_t) = \left( \frac{q^2}{p^2+q^2}, 0, 0, 0, \frac{p^2}{p^2+q^2} \right).\]它当然也是某一个 stationary distribution；但两个终点之间的权重，必须通过前面算出的到达概率或逐轮概率流求出来，不能只靠 stationarity。
换句话说，到长期时，每一期新流入吸收态的概率都已经趋近于零；可是最终吸收概率来自此前所有流量的累计。只看最后“不再流动”的那一刻，会把整个历史丢掉。
6. 到底应该梭哈，还是慢慢赌？
现在比较两种策略：
\[\pi_A=p,\] \[\pi_B = \frac{p^2}{p^2+q^2}.\]两者之差为
\[\pi_B-\pi_A = \frac{p(1-p)(2p-1)}{p^2+(1-p)^2}.\]因此：
- $p=0$：两种策略的成功率都是 0；
- ${0<p<1/2}$：$\pi_B<\pi_A$，一次梭哈严格更好；
- $p=1/2$：$\pi_B=\pi_A=1/2$，两种策略一样；
- ${1/2<p<1}$：$\pi_B>\pi_A$，慢慢赌严格更好；
- $p=1$：两种策略的成功率都是 1。
这里的“更好”只表示先到达 4 的概率更高。如果加入时间成本、效用、风险偏好或其他下注限制，结论可能不同。
事实上，一次梭哈一局结束；慢慢赌的期望局数为
\[\mathbb E[T] = A_1+A_2+A_3 = \frac{2}{p^2+q^2},\]它在 2 局到 4 局之间。
7. 最后一个直觉：两局以后，要么结束，要么重来
从 2 美元出发，把下注按两局分组，会出现三种结果：
- $WW$：到达 4，概率为 $p^2$；
- $LL$：到达 0，概率为 $q^2$；
- $WL$ 或 $LW$：回到 2，概率为 ${2pq}$，一切重来。
所以，第一个“有决定性的两局区块”是 $WW$ 的条件概率为
\[\frac{p^2}{p^2+q^2}.\]这不是说策略 B 必须一开始连续赢两局。它可以先经历任意多个一胜一负的区块；关键是这些混合结果都会把我们送回原点。最终真正决定结果的区块，不是两连胜，就是两连败。
因此，成功与失败的赔率满足
\[\frac{\Pr(\text{成功})}{\Pr(\text{失败})} = \left(\frac{p}{q}\right)^2.\]当 $p<1/2$ 时，失败区块比成功区块更常见。每多赌一局，都意味着多暴露一次在负优势之下；既然游戏对你不利，拖得越久未必越安全。
当 $p>1/2$ 时，情况反过来。慢慢下注让正优势有更多机会发挥作用，而且一次偶然失利不会立刻让你归零。
当 $p=1/2$ 时，财富过程是一个公平的 martingale。初始财富 2 对应目标 4，所以成功概率正好是 ${2/4=1/2}$。公平游戏里，改变下注路径不会凭空创造成功概率。
8. 真正值得记住的，不只是公式
这道题的答案并不复杂：
\[\pi_B = \frac{p^2}{p^2+(1-p)^2}.\]但比答案更值得品味的，是我们究竟把什么选作未知量。
你可以问：从每一个状态出发，最终成功的概率是多少？这会带来 backward equation。
你也可以问：从一个确定的起点出发，每一时刻的概率质量在哪里？这会带来 forward equation，以及对 probability flow 的累计。
前一种方法直接，后一种方法保留过程。它们不是两套互相竞争的技巧，而是同一条 Markov chain 的两面。
至于标题里的问题——一次梭哈，还是慢慢赌？
策略上的答案取决于 $p$。
解题时选择向后看，还是向前走，则取决于你真正想知道什么。
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