生活攻略
北京和成都，哪里先日落？
这个问题最初来自一个很朴素的直觉。成都在北京以西，而全国又都使用北京时间，所以太阳运行到成都上空同样的位置时，钟表应该已经走得更晚。于是，成都似乎理所当然会更晚日落。
但另一个直觉又冒了出来：北京纬度更高。北半球夏天越往北，白昼越长；既然北京的白天更长，它从中午走到日落所花的时间也应该更多。这会不会把经度造成的时间差抵消掉？如果会，两个城市有没有可能几乎同时日落？
先给答案：按北京时间，北京全年都比成都更早日落。两者最接近是在夏至附近，相差约 23 分钟；春分、秋分附近相差约 49 分钟；冬至附近则相差约 74 分钟。
“经度效应”和“纬度效应”相互较量的框架是对的。真正需要修正的是：纬度越高、白昼越长，只在北半球的夏半年成立；冬半年方向恰好相反。
1. 把日落拆成两个部分
日出和日落看起来是两个独立时刻，其实它们都围绕当天的太阳正午展开。先暂时忽略地形和复杂的大气变化，可以写出：
\[\text{日落时间} =\text{太阳正午时间}+\frac{1}{2}\times\text{白昼长度}.\]经度主要改变第一项。地球 24 小时转过 $360^\circ$，因此经度每向西 $1^\circ$，同一个太阳位置在统一钟表上大约晚 4 分钟。纬度主要改变第二项：它决定太阳每天在地平线以上停留多久。
图 1 2026 年夏至，经度使成都整体向后平移约 49 分钟；北京更长的夏季白昼又追回约 26 分钟。两者相减，成都仍晚约 23 分钟。
如果用地点 2 减地点 1，同一天、同一时区内的日落差可以写成：
\[\Delta T_{\text{日落}} =\Delta T_{\text{正午}}+\frac{1}{2}\Delta D.\]这就是整篇文章最重要的模型。下面分别把两项算出来。
2. 经度怎样变成钟表上的分钟
北京时间以东经 $120^\circ$ 的标准子午线为基准。设某地东经为 $\lambda$，当天的均时差为 $E$，则该地太阳正午的北京时间近似为：
\[T_{\text{正午}} =12{:}00+4(120^\circ-\lambda)-E.\]式中的 4 的单位是“分钟每度”。北京约为 $116.41^\circ\mathrm{E}$，成都约为 $104.07^\circ\mathrm{E}$，因此成都的太阳正午比北京晚：
\[4\times(116.41^\circ-104.07^\circ) \approx49\text{ 分 }22\text{ 秒}.\]均时差来自地球轨道偏心和地轴倾斜，会让太阳正午在一年中相对钟表前后摆动。不过比较同一天的北京与成都时，它对两地几乎相同，所以在时间差里基本抵消。
3. 日落时角从哪里来？
接下来处理纬度。先定义四个量：
- $\phi$：观察地点的纬度；
- $\delta$：当天太阳赤纬，也就是太阳直射点的纬度；
- $h$：太阳高度角，地平线为 $0^\circ$；
- $H$：太阳时角，太阳正午为 $0^\circ$，每小时变化 $15^\circ$。
在天球上取三个点：北天极 $P$、观察者天顶 $Z$ 和太阳 $S$。它们组成一个球面三角形。
图 2 北天极 P、天顶 Z 和太阳 S 构成球面三角形。三条边分别对应 90°−φ、90°−δ 和 90°−h，P 点夹角为太阳时角 H。图为示意，不按比例。
对这个球面三角形应用球面余弦定理，可以得到太阳高度角公式：
\[\sin h =\sin\phi\sin\delta +\cos\phi\cos\delta\cos H.\]在最简单的几何模型中，日落就是太阳中心落到地平线，因此令 $h=0^\circ$。把上式移项，就得到日落时角 $H_0$：
\[\cos H_0=-\tan\phi\tan\delta.\]地球每小时转过 $15^\circ$，所以太阳从正午走到日落所需的时间是 $H_0/15$ 小时；从日出到日落则是它的两倍：
\[D=\frac{2H_0}{15}\text{ 小时} =8H_0\text{ 分钟}.\]现实中的“日落”通常定义为太阳上缘消失，同时还要近似考虑大气折射。NOAA 的常用算法把日出日落时的太阳天顶角设为 $90.833^\circ$，于是更精确的时角是：
\[\cos H_0 =\frac{\cos90.833^\circ}{\cos\phi\cos\delta} -\tan\phi\tan\delta.\]4. 北京与成都：夏季相抵，冬季相加
北京和成都的经度差固定贡献约 $+49$ 分 $22$ 秒，正号表示成都更晚。纬度贡献则随季节变化，它等于两地白昼长度差的一半。
| 2026 年日期 | 北京日落 | 成都日落 | 经度贡献 | 日长贡献 | 总差：成都−北京 |
|---|---|---|---|---|---|
| 3 月 20 日·春分附近 | 18:25 | 19:14 | +49分22秒 | −16秒 | 约 +49 分钟 |
| 6 月 21 日·夏至 | 19:46 | 20:09 | +49分22秒 | −26分13秒 | 约 +23 分钟 |
| 9 月 23 日·秋分 | 18:10 | 18:59 | +49分22秒 | −27秒 | 约 +49 分钟 |
| 12 月 21 日·冬至附近 | 16:52 | 18:06 | +49分22秒 | +24分49秒 | 约 +74 分钟 |
夏至时，北京白昼约 15 小时，成都约 14 小时 08 分。北京从太阳正午到日落比成都多约 26 分钟，因此抵消了大约一半的经度差，但还不足以反超。
冬至时，方向完全反过来。北京纬度更高，冬季白昼反而更短，于是它从太阳正午走到日落所需的时间比成都少约 25 分钟。此时，经度和纬度不再相互抵消：成都更靠西，使日落晚约 49 分钟；成都冬季白昼更长，又让日落继续晚约 25 分钟。两项相加，差距扩大到约 74 分钟。
所以，北京与成都的比较可以概括成一句话：
夏半年，经度与纬度彼此对抗；冬半年，两者方向相同。春分、秋分附近纬度贡献接近零，日落差几乎只剩经度造成的 49 分钟。
图 3 经度贡献全年固定为约 +49 分钟；日长贡献在夏季约为 −26 分钟、冬季约为 +25 分钟。两者相加后，成都全年仍比北京晚日落。
为什么季节会改变纬度效应的方向？在理想模型中，赤道上 $\phi=0^\circ$，因此无论太阳赤纬是多少，都有 $\cos H_0=0$，即 $H_0=90^\circ$，白昼正好 12 小时。从赤道向北走时，趋势取决于太阳赤纬 $\delta$ 的正负：
- 春分到秋分，$\delta>0$：太阳直射点在北半球。纬度越高，日落时角越大，白昼越长；
- 春分、秋分，$\delta\approx0$：理想模型中各纬度昼夜等长，纬度贡献接近零；
- 秋分到次年春分，$\delta<0$：太阳直射点在南半球。北半球纬度越高，白昼反而越短。
因此，“赤道昼夜等长，北极圈全天白昼”描述的是北半球夏至附近的截面。换到冬至，北极圈以内的极限不是全天白昼，而是全天黑夜。
如果问题指的是 2026 年 8 月 1 日，北京约 19:28 日落，成都约 19:58 日落，相差约 30 分钟，也不是完全相同。
5. 北极圈附近会不会突然跳到 24 小时？
不会。白昼长度关于纬度是连续的。在夏至的理想模型中，随着纬度接近北极圈，$-\tan\phi\tan\delta$ 连续接近 $-1$，于是：
\[H_0=\arccos(-1)=180^\circ, \qquad D=24\text{ 小时}.\]越过边界以后，太阳不再落下，白昼保持 24 小时。它是从 23 小时 59 分连续逼近 24 小时，而不是从某个较小数字突然跳过去。
图 4 忽略太阳视半径和大气折射的理想模型。北极圈附近的曲线非常陡，但仍然连续；实际极昼边界会因折射、海拔和太阳并非一个点而略有移动。
数学上真正特殊的是斜率：在极昼或极夜边界附近，曲线可以变得非常陡，甚至失去普通意义上的有限导数。于是很小的纬度变化就可能对应很大的日长变化，看起来像“突然发生”，但函数值本身没有跳跃。
6. 推广到中国任意两点
设地点 1、2 的东经分别为 $\lambda_1$、$\lambda_2$，当天白昼长度分别为 $D_1$、$D_2$。因为两地都使用北京时间，所以：
\[T_2-T_1 =4(\lambda_1-\lambda_2) +\frac{1}{2}(D_2-D_1).\]左边是日落钟表时间差；右边第一项是经度贡献，第二项是纬度通过日长产生的贡献。实际计算可以按四步走：
- 确定两个地点的纬度和经度，并固定要比较的日期；
- 用当天太阳赤纬 $\delta$ 和两地纬度计算日落时角 $H_0$；
- 由 $D=8H_0$ 分钟得到两地白昼长度；
- 把“每度 4 分钟”的经度差与“一半日长差”相加。
7. 这个模型忽略了什么？
如果目标是解释机制，这个模型已经足够好。如果要预测某个观景台肉眼看到太阳最后一角消失的精确时刻，还需要继续加入：
- 均时差：决定太阳正午相对钟表的年度摆动；
- 大气折射：让太阳在几何上已经略低于地平线时仍可见；
- 太阳视半径：日落通常按太阳上缘消失，而不是中心过线定义；
- 海拔与地形：西侧山脉会提前遮住太阳，高处或开阔地平线则可能推迟可见日落；
- 城市坐标：大城市不是一个点，城区东西两端也会有小幅差别。
但这些修正不会改变北京与成都的主要结论。经度先给成都约 49 分钟的“晚点”；纬度在夏季追回一部分、冬季反而继续推迟。最终，北京全年都先日落。
一个生活里的小问题，最后变成了一条可以推广的公式：太阳落下的钟表时刻，既是一张东西方向的地图，也是一张随季节呼吸的纬度地图。
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